Q: Как считается пуш фолд по ICM, и в чем преимущества модели FGS

Модель FGS была добавлена в ICMIZER недавно, и она неизменно вызывает целый ряд вопросов.
На большинство из них я отвечу в этой статье.

Начнем с того, что разберемся, как делаются расчеты пуш диапазона по обычному ICM.
В этом простом примере мы будем считать наше ожидание от опенпуша AA с баттона по модели ICM.

Как делаются обычные ICM расчеты

В этом простом примере мы будем считать наше ожидание от опенпуша AA с баттона по модели ICM.

1. Вначале мы строим дерево возможных исходов после нашего пуша

2. Затем мы считаем вероятность каждого исхода. Здесь мы принимаем во внимание эффект блокировки карт, применяем формулы комбинаторики и используем понятие условной вероятности. Это достаточно просто. Например, чтобы посчитать вероятность оверколла ББ, мы должны перемножить вероятность пуша хиро, вероятность колла СБ в случае пуша и вероятность оверколла ББ в случаев пуша баттона и колла СБ.

Вычислив все эти вероятности, мы должны найти всевозможные исходы на вскрытии. В потах на двоих возможны три исхода (победа первого, победа второго, дележка), в потах на троих возможны уже 13 различных исходов. Мы вычисляем вероятность каждого из них.

3. После того, как мы вычислили вероятность каждого исхода, нам для каждого из них нужно посчитать изменение турнирной доли героя. С ICM всё просто – зная структуру выплат и стеки игроков в случае конкретного исхода (например, баттон забирает основной банк, а SB и BB делят побочный), мы легко получим $EV (обычный ICM перевод стека в доллары).

Например, если при определенном исходе мы теряем стек (проиграв, скажем, бигстеку), то наша турнирная доля будет равна нулю (при условии что мы ещё не в призовой зоне).

Для того чтобы его посчитать $EV пуша, осталось лишь найти сумму произведений вероятностей исходов на соответствующие им $EV. Говоря иначе, EV пуша – это взвешенная сумма EV каждого из потенциальных исходов после пуша. Вес тут – это фактическая вероятность каждого из исходов. Чем меньше вероятность исхода, тем меньше он влияет на результат.

Работа FGS по сравнению c ICM

FGS (Future Game Simulations, симуляция будущих раздач) – модель, основанная на ICM, целью которой является преодоление некоторых хорошо известных неидеальностей ICM.

Перечислим некоторые ограничения ICM, которые решаются в модели FGS:

• ICM не учитывает размеры блайндов – BB, SB и анте
• ICM игнорирует положение игроков относительно блайндов
• ICM игнорирует движение блайндов

Модель FGS существенно более сложна для понимания, чем обычная ICM. Многим игрокам требуется много времени, чтобы осознать, как работает модель ICM. Изучение модели и понимание FGS требует ещё больше времени.

В модели FGS мы вычисляем вероятность каждого исхода точно также, как и в обычной ICM. Шаги 1 и 2 алгоритма остаются такими же. Изменения касаются третьего шага, на котором мы считаем $EV каждого исхода.

Модель FGS вносит следующие изменения в третий шаг:

1. Упорядочиваем стеки игроков в соответствии с их рассадкой за столом.

2. Изменяем положение стека в соответствии с нашей позицией, то есть размер стека хиро такой же, но в позиции, в которой он будет в следующей раздаче.
3. Начинаем учитывать блайнды, для чего считаем равновесные (Нэш) диапазоны в этой ситуации (из предыдущего шага).
4. На основе вычисленных диапазонов мы вычисляем, как будет выглядеть турнирная доля хиро после следующей раздачи, если игра будет вестись в соответствии со стратегией пушей по равновесию Нэша. В ICMIZER этот процесс называется вычислением «Движения ЕВ». Данное значение для нашего стека после следующей раздачи и есть EV по FGS, с которым мы будем работать.

Подобные вычисления нам следует проделать для каждого потенциального исхода после нашего пуша.

Демонстрация различий между расчетами в режиме ICM и в режиме FGS

Рассмотрим ситуацию на баббле обычного 6-макс турнира, стеки всех игроков равны (рисунок выше, у всех по 5 ББ).

Проанализируем нашу турнирную долю, если хиро находится на баттоне.

ICM не учитывает блайнды и позицию, в связи с чем наша турнирная доля будет равна трети призового фонда, одинаковая с остальными игроками. Это значение вы можете видеть в первом столбце таблицы на рисунке.

Однако, посчитав диапазоны Нэша для данной ситуации и рассчитав изменение турнирной доли после этой раздачи, мы увидим, что на самом деле турнирная доля ББ станет значительно меньше турнирной доли баттона. Во втором столбце таблицы можно видеть турнирную долю по FGS. Для ББ турнирная доля по FGS меньше турнирной доли по ICM. С точки зрения FGS (с чем соглашается здравый смысл) данная позиция является наименее выгодной для стека в 500 фишек.

Учитывая это, становится понятно, что диапазон пуша с баттона, с учетом надвигающегося блайнда в следующей раздаче, по FGS будет существенно шире, чем диапазон, предлагаемый ICM. Часто это интуитивно понятно игрокам: зная что мы в следующей раздачи ставим блайнд, составляющий существенную часть стека, мы будем пушить шире, стараясь как-то компенсировать это.

Когда мы не используем модель FGS в этих случаях, мы говорим о минус ЕВ пушах по модели ICM. Для этого мы выставляем EV Diff на некоторое отрицательное значение. Вообще говоря, подбор конкретного значения не обоснован математически, эти значения мы можем выбирать лишь приблизительно, на основе опыта и ощущений. Напротив, при использовании FGS при расчете диапазона пуша мы не должны пытаться угадать правильное отрицательное значение EV diff, вместо этого мы просто опираемся на существующую математическую модель и делаем +ЕВ пуши по ней.

Чтобы продемонстрировать некоторые конкретные преимущества модели FGS, рассмотрим пример.

Пример вычислений по модели FGS и сравнение с результатами по ICM.

Рассмотрим следующую ситуацию:

Расчет равновесия Нэша по обычной модели ICM

Мы находимся на баттоне, у нас два блайнда. Проведем вначале обычные вычисления по ICM. Сразу видны проблемы такого подхода. По опыту мы видим, что предлагаемый нам равновесный диапазон пуша слишком тайтовый. Это вызвано тем, что предполагается, что SB будет пушить достаточно широко. Конечно, если бы это было бы так, то мы были бы очень довольны тем, что СБ будет часто вылетать.

Однако, СБ обычно понимает, что в следующей раздаче на нас накатывается блайнд, из-за чего ему не нужно пушить так широко, как предлагает ICM. Поэтому, если мы думаем о будущих раздачах, мы должны делать тут отрицательный по ЕВ пуш. В таком случае наш диапазон тут будет вряд ли менее 30%.

Давайте теперь посмотрим, какие равновесные диапазоны будут выставляться по модели FGS.

Расчет равновесия Нэша по модели FGS

Мы видим, что диапазоны по FGS почти совпадают с диапазонами, которые мы выставили, исходя из нашего опыта игры. SB теперь не пушит 39%, как это предлагалось моделью ICM. Теперь он ограничивается 12%, ожидая нашего вылета.

Наш диапазон также претерпевает существенные изменения, превращаясь из 6% в 45%. Теперь мы не ждем натсов, а пушим почти половину наших рук!

Очевидно, что игроки на баттоне и SB, следующие диапазонам, основанными на модели FGS, будут принимать в этом споте значительно более эффективные решения. Они выиграют больше денег на дистанции, чем игрок, следующий рекомендациям модели ICM.

В данном примере, диапазон пуша BTN фактически поменялся со диапазоном пуша SB местами после того, как мы приняли во внимание наезд блайндов и применили модель FGS.

Выводы

Модель FGS берет всё самое лучшее от модели ICM, но позволяет существенно более точно подбирать наши диапазоны в тех ситуациях, когда за столом есть игроки с короткими стеками, и приближающиеся блайнды сильно влияют на принятие решений.

Конечно, модель FGS не является панацеей. Она не совершенна и имеет свои ограничения. Наиболее очевидным ограничением является наше предположение, что игроки будут играть по Нэшу в следующих раздачах. Часто это не так, и тогда на решение должен повлиять наш прогноз будущего поведения.

Если мы хотим математически решить проблемы связанные с ограничениями обычной модели ICM и учесть дополнительные факторы, то мы обязаны сделать некий ряд допущений. Предположение о том, что в следующих раздачах все игроки будут пушить по Нэшу, конечно, не точное, однако это небольшой недостаток по сравнению с преимуществами модели FGS в тех случаях, где ICM терпит полное фиаско.